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Wolfgang Rautenberg

Einführung in die Mathematische Logik und Mengenlehre SS 2002 - Übungsblatt 6 - Abgabe 10 Tage nach Ausgabe

1. Die Relation ≈ (⊆ A^{2}) heißt euklidisch, wenn a ≈ b & a ≈ c ⇒ b ≈ c, für alle a, b, c ∈ A. Man zeige, ≈ ist dann und nur dann eine Äquivalenzrelation in A, wenn ≈ reflexiv und euklidisch ist.

2. Man zeige, eine Äquivalenzrelation ≈ auf einer algebraischen L-Struktur A ist schon dann eine Kongruenz, wenn für alle f ∈ L und alle i = 1, …, n

a ≈ a′ ⇒ f(a_{1}, …, a_{i−1}, a, a_{i+1}, …, a_{n}) ≈ f(a_{1}, …, a_{i−1}, a′, a_{i+1}, …, a_{n}).

3. Man zeige, es gibt bis auf Isomorphie genau fünf 2-elementige echte Gruppoide. Dabei heiße ein mindestens 2-elementiges Gruppoid (H, ·) echt, wenn · eine wesentlich 2-stellige Operation ist.

4. Das Axiomensystem für Gruppen in L{^{∘}, e,^{−1}} wie folgt formuliert werden:

∀x∀y∀z x^{∘}(y^{∘} z)= (x^{∘} y)^{∘} z ; ∀x x^{∘} e= x ; ∀x x^{∘} x^{−1} = e.

Man beweise, eine Substruktur einer Gruppe in dieser Signatur ist automatisch eine Subgruppe, und allgemeiner: Ist eine Klasse K von algebraischen Strukturen durch universale Aussagen definiert wie die Gruppentheorie, so gehört jede Substruktur von A ∈ K wieder zu K. Kurzum, K ist Substrukturabgeschlossen.